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By Manfred Dobrowolski

In diesem Lehrbuch werden die Methoden der Funktionalanalysis mit ihren Anwendungen in der Theorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Gleichzeitig werden dem Leser die analytischen und funktionalanalytischen Sätze näher gebracht, die für die numerische Approximation elliptischer (und anderer) Differentialgleichungen bedeutsam sind. Neben dem klassischen Stoff der linearen Funktionalanalysis werden daher ausführlich die Sobolevschen Funktionenräume (auch von negativer und gebrochener Ordnung) sowie die Existenz- und Regularitätstheorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Besonderer Wert wird auf die Umsetzung der Funktionalanalysis gelegt, additionally der Anwendung der abstrakten Theorie auf den konkreten Fall. Dies geschieht durch eine Vielzahl von Anwendungsbeispielen. Zahlreiche sorgfältig ausgewählte und kommentierte Aufgaben runden die Darstellung ab.

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42. Sei Ω ein beschr¨anktes Gebiet. F¨ ur alle m ∈ 1 existiert die Einbettung C m,β → C m,α und ist kompakt. 0 und 0 ≤ α < β ≤ Beweis. Dies braucht nur f¨ ur m = 0 gezeigt zu werden. F¨ ur α = 0 ist die Behauptung klar: Die Einbettung folgt aus der Definition der Norm und die Kompaktheit aus dem Satz von Arzela-Ascoli. Sei also 0 < α < β. 16) + dβ−α |u|C β . Mit d = 1 ist die behauptete Einbettung gezeigt. Sei (uk ) eine Folge in C β mit uk C β ≤ M. Nach dem Satz von ArzelaAscoli gibt es eine Teilfolge, die genauso bezeichnet wird, mit uk → u gleichm¨aßig.

Auf C m,α definieren wir die Ausdr¨ ucke u C m,α = u m,∞ + max |Dγ u|C α . |γ|=m Im folgenden setzen wir C m,0 = C m und haben damit die C m,α -R¨aume f¨ ur alle m ∈ 0 und 0 ≤ α ≤ 1 erkl¨ art. 41. C m,α (Ω) ist Banach-Raum unter der Norm · C m,α . Beweis. Die Normaxiome k¨ onnen unmittelbar nachgewiesen werden. Sei (uk )k∈ eine Cauchy-Folge in C m,α (Ω). Dann ist (Dγ uk ) f¨ ur |γ| ≤ m eine Cauchy-Folge bez¨ uglich der Norm · ∞ und besitzt eine stetige und beschr¨ankte Grenzfunktion uγ . Die gleichm¨ aßige Stetigkeit von uγ folgt aus der gleichm¨aßigen Konvergenz durch Standardargumente.

Durch vollst¨andige Induktion folgt uγ = Dγ u f¨ ur alle γ und damit uk → u in C m (Ω). Sei nun α > 0 und ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit m = 0. F¨ ur x, y ∈ Ω mit x = y f¨ uhren wir in Aufgaben |uk (x) − uk (y) − (ul (x) − ul (y))| ≤ε |x − y|α 39 ∀l ≥ k ≥ K den Grenz¨ ubergang l → ∞ durch. Da die rechte Seite nicht von x, y abh¨angt, k¨ onnen wir zum Supremum u ¨ bergehen und erhalten |uk − u|C α ≤ ε. Dies beweist uk → u in der Norm von C m,α . 42. Sei Ω ein beschr¨anktes Gebiet. F¨ ur alle m ∈ 1 existiert die Einbettung C m,β → C m,α und ist kompakt.

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